完全平方公式的定义和常见变形

一、完全平方公式的定义和常见变形

1、完全平方公式

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$（两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍）

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$（两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍）

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解等）。

2、完全平方公式的特点

（1）$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$与$(a-b{)}^2=$$a^2-$$2ab+$$b^2$都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（2）公式的特点

两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”。

（3）公式中的$a$、$b$可以是单项式，也可以是多项式。

3、完全平方公式的常见变形

$a^2+b^2=$$(a+b{)}^2-2ab=$$(a-b{)}^2+$$2ab$；$(a+b{)}^2+$$(a-b{)}^2=$$2(a^2+$$b^2)$；$(a+b{)}^2-$$(a-b{)}^2=$$4ab$。

4、拓展

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$；

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$；

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$；

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$；

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$。

二、完全平方公式的相关例题

若$x^2-kxy+4y^2$是一个完全平方式，则常数的值为___

A．4 B．-4

C．±4 D．无法确定

答案：C

解析：因为$x^2-kxy+4y^2$是一个完全平方式，所以$x^2-$$kxy+$$4y^2=$$(x\pm 2y{)}^2=$$x^2\pm$$4xy+$$4y^2$，所以$k=\pm 4$，故选C。

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