一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|,一般是将矩阵初等变换,化成三角阵,然后主对角线元素相乘,即可得到。
列三种变换称为矩阵的行初等变换:
(1)对调两行;
(2)以非零数k乘以某一行的所有元素;
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。
将定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换,统称为矩阵的初等变换。
求相似对角化的矩阵Q的具体步骤为:
求|λE-A|=0 (其中E为单位阵)的解,得λ1和λ2(不管是否重根),这就是Λ矩阵的对角元素。
依次把λ1和λ2带入方程(如果λ是重根只需代一次,就可求得两个基础解)[λE-A][x]=[0],求得两个解向量[x1]、[x2],从而矩阵Q的形式就是[x1 x2]。
接下来的求逆运算是一种基础运算,这里不再赘述。
一、定理1:
设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
根据定理1,只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法,容易证明这个结论。
二、定理2:
令A为n×n矩阵。
1、若A有一行或一列包含的元素全为零,则det(A)=0。
2、若A有两行或两列相等,则det(A)=0。
这些结论容易利用余子式展开加以证明。