矩阵对角化的条件和步骤

文/崔欢

经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后,能得到一个只有主对角线上元素不全为零,而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵),这个过程就叫做矩阵的对角化。

矩阵对角化的条件和步骤

矩阵对角化的条件

特别注意:不是所有矩阵A,都能找到相似矩阵为D的对角矩阵

对于,一个n×n的矩阵A(n阶方阵)

什么时候一定能被对角化:

矩阵A若含有:n个线性无关的特征向量,则A可被对角化

矩阵A若含有:n个不同的特征值,则A可被对角化

例:矩阵A(3×3)含有3个不同的特征值,则A可被对角化

例:矩阵A(n×n)含有含有n个不同的特征值,则A可被对角化

什么时候不一定能被对角化:

矩阵A若没有n个不同的特征值,A不一定能被对角化

在这种情形下有可能能被对角化,也有可能不能

例:矩阵A(3×3)含有2个不同的特征值

如:

经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后,能得到一个只有主对角线上元素不全为零,而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵),这个过程就叫做矩阵的对角化。

(仅2个不同的特征值)

此时:能否被对角化,不一定!

矩阵对角化是什么意思

矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念,它是指将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。具体来说,如果一个矩阵可以表示成一组特征向量的线性组合,那么这个矩阵就被称为可对角化的矩阵。

而对角化矩阵的意义在于,它可以被分解为一系列单一性质矩阵的乘积,从而可以更好地研究和应用矩阵的性质。