两矩阵相似的条件

文/张哲

两个矩阵相似的充分必要条件是:两者的秩相等。两者的行列式值相等。两者的迹数相等。两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同。两者拥有同样的特征多项式。两者拥有同样的初等因子。

两矩阵相似的条件

两矩阵相似的条件是什么

两者的秩相等,两者的行列式值相等,两者的迹数相等,两者拥有同样的特征多项式两者拥有同样的初等因子。

若A与对角矩阵相似则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。

两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似,但当这两个矩阵是实对称矩阵时, 有相同的特征值必相似,当矩阵A与B的特征值相同,A可对角化,但B不可以对角化时,A和B就不相似。

两个矩阵相似充要条件是特征矩阵等价行列式因子相同不变,因子相同初等因子相同,且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似,在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

相似矩阵的定义

设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似,记为A~B。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法:

(1)判断特征值是否相等;

(2)判断行列式是否相等;

(3)判断迹是否相等;

(4)判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件,而非充分条件。

(两个矩阵若相似于同一对角矩阵,这两个矩阵相似。)