可逆矩阵的行列式

文/苏思楠

矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。证明如下:因为 AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵.所以 |AB|=|BA|=1。当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有 |B|=1/|A|。

可逆矩阵的行列式

行列式运算法则

1、三角形行列式的值,等于对角线元素的乘积。计算时,一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、交换行列式中的两行(列),行列式变号。

3、行列式中某行(列)的公因子,可以提出放到行列式之外。

4、行列式的某行乘以a,加到另外一行,行列式不变,常用于消去某些元素。

5、若行列式中,两行(列)完全一样,则行列式为0;可以推论,如果两行(列)成比例,行列式为0。

6、行列式展开:行列式的值,等于其中某一行(列)的每个元素与其代数余子式乘积的和;但若是另一行(列)的元素与本行(列)的代数余子式乘积求和,则其和为0。

7、在求解代数余子式相关问题时,可以对行列式进行值替代。

8、克拉默法则:利用线性方程组的系数行列式求解方程。

逆矩阵的性质

1、可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A。即(A⁻¹)⁻¹=A

2、如果矩阵A可逆,那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k

3、如果矩阵A和B都是可逆矩阵,那么(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

4、如果矩阵A可逆,那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ

5、如果矩阵A可逆,那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ

6、如果矩阵A是可逆矩阵,那么|A⁻¹|=|A|⁻¹