子数列一定是无限的吗

文/张哲

数列可以是有限项也可以是无限项,微积分研究的数列是无限项,因为微积分研究项数增多时数列一般项的变化规律。其子列也是无限项。子数列是指任取无穷多项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列,任何一个无穷数列都存在无穷多个子数列。

子数列一定是无限的吗

子数列的定义是什么

形式的说,设原数列为一个自然数集到某数集的映射。子数列是自然数集上的某个严格递增函数,由和所得的复合函数,即。一般记作,记作。当中是这个子数列的第k项,也是原数列的第项。由不同的也有可能得到相同的子序列。

数列是几个数按照一定的顺序组成的特定排列,子数列是从一个数列中抽取几个数,按照他们在原数列中的顺序所组成的新的数列。

比如1,2,3,4,5,6是一个数列,从中抽取3,5,6三个数,这三个数组成的数列叫原数列的子数列,而数列5,6,3因为不是按照原来的顺序排列的,所以不是原数列的子数列。

子数列收敛原数列是否一定收敛

我们认可这样一个前提:改变(包括添加、删除、改变数值)某数列的有限数目个项,不改变数列的敛散性。

可以这样理解,数列的收敛与否我们只关心很远很远的数列尾巴的情况,只改变有限数目的项,都影响不到数列尾巴的情况,自然改变不了数列敛散性。

既然数列 {An} 的任何子列都收敛,我们删去首项 A1,得到一个新数列 {An'}。

由题意,{An'} 是 {An} 的子数列,故 {An'} 收敛;而 {An'} 和 {An} 只有有限项更改,自然 {An} 必然收敛。