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数列可以是有限项也可以是无限项，微积分研究的数列是无限项,因为微积分研究项数增多时数列一般项的变化规律。其子列也是无限项。子数列是指任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列，任何一个无穷数列都存在无穷多个子数列。
子数列的定义是什么
形式的说，设原数列为一个自然数集到某数集的映射。子数列是自然数集上的某个严格递增函数，由和所得的复合函数，即。一般记作，记作。当中是这个子数列的第k项，也是原数列的第项。由不同的也有可能得到相同的子序列。
数列是几个数按照一定的顺序组成的特定排列，子数列是从一个数列中抽取几个数，按照他们在原数列中的顺序所组成的新的数列。
比如1，2，3，4，5，6是一个数列，从中抽取3，5，6三个数，这三个数组成的数列叫原数列的子数列，而数列5，6，3因为不是按照原来的顺序排列的，所以不是原数列的子数列。
子数列收敛原数列是否一定收敛
我们认可这样一个前提：改变（包括添加、删除、改变数值）某数列的有限数目个项，不改变数列的敛散性。
可以这样理解，数列的收敛与否我们只关心很远很远的数列尾巴的情况，只改变有限数目的项，都影响不到数列尾巴的情况，自然改变不了数列敛散性。
既然数列 {An} 的任何子列都收敛，我们删去首项 A1，得到一个新数列 {An'}。
由题意，{An'} 是 {An} 的子数列，故 {An'} 收敛；而 {An'} 和 {An} 只有有限项更改，自然 {An} 必然收敛。