复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。
1、复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。
法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);
法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
2、应用举例求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。
解:设u=g(x)=3x+2
f(u)=u3+3
f'(u)=3u2=3(3x+2)2
g'(x)=3
f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2
判断复合函数的单调性的步骤如下:
1、求复合函数的定义域;
2、将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);
3、判断每个常见函数的单调性;
4、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;
5、求出复合函数的单调性。