轨迹和求曲线方程轨迹的一般方法

一、轨迹和求曲线方程轨迹的一般方法

1、椭圆的轨迹

（1）我们把平面内与两个定点$F_1，F_2$的距离的和等于常数（大于$|F_1{F}_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。

注：只有当$2a>|F_1{F}_2|$时，动点$P$的轨迹才是椭圆，当$2a<|F_1{F}_2|$时，动点$P$的轨迹不存在；当$2a$=$|F_1{F}_2|$时，动点$P$的轨迹是线段$|F_1{F}_2|$。

（2）平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数$e$（即离心率，0<$e$<1）的点的轨迹是椭圆。

2、双曲线的轨迹

（1）我们把平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离的差的绝对值等于非零常数（小于$|F_1{F}_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。

（2）平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$的距离的比是常数$e$，当$e$>1时，动点的轨迹是双曲线。

3、抛物线的轨迹

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$（$l$不经过点$F$）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

4、求曲线方程轨迹的一般方法

（1）直译法：直接将动点满足的几何关系“翻译”成动点坐标$(x,y)$的关系式，得到方程$f(x,y)=0$，即为所求动点的轨迹方程。用直译法求解时列式容易，但在对等式进行等价变形与化简的过程中，应特别留意是否需要分情况讨论。

（2）待定系数法：若轨迹方程中存在待定系数，则可将已知的条件代入，从而得出系数满足的方程（组），通过求解方程（组）得到待定系数的值，即可得出轨迹方程。

（3）定义法：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程。利用定义法可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再利用待定系数法求解。

（4）相关点法：若根据动点运动的限制条件不容易直接列出等式，但动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示出相关点的坐标，再根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程。

（5）参数法：若动点$(x,y)$坐标之间的关系不容易直接找到，可先考虑将$x,y$用参数表示，再设法消去参数，即可得到轨迹方程。用参数法求解时，需注意参数的取值范围对方程中$x$和$y$的范围的影响。

（6）交轨法：选择适当的参数表示两动曲线的方程，再将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

二、轨迹的相关例题

已知$A$(-1，0)，$B$是圆$F$：$x^2$-2$x$+$y^2$-11=0($F$为圆心)上一动点，线段$AB$的垂直平分线交$BF$于$P$，则动点$P$的轨迹方程为

A．$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{11}=1$

B．$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{35}=1$

C．$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$

D．$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

答案：D解析：由已知得圆$F$的标准方程为($x-1{)}^2$+$y^2$=12，则圆心$F$的坐标为(1，0)，半径为2$\sqrt{3}$，由点$P$在线段$AB$的垂直平分线上可知$|PA|=|PB|$，故$|PA|$+$|PF|$=$|PB|$+$|PF|$=$|BF|$=2$\sqrt{3}$>2=$|AF|$，所以动点$P$的轨迹是以$A$，$F$为焦点，2$\sqrt{3}$为长轴长的椭圆，则2$a$=2$\sqrt{3}$，2$c$=2，所以$b=\sqrt{2}$。所以动点$P$的轨迹方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，故选D。

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