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一元二次不等式的定义和解法

2021-03-01 16:50:59

文/陈宇航

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一、一元二次不等式的定义和解法

1、定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式

$a x^{2}$ + $b x$ + $c$ >0（ $a$ >0）或 $a x^{2}$ + $b x$ + $c$ <0（ $a$ >0），任何一个一元二次不等式都可以整理成此形式。

3、一元二次不等式的解法

（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；

（2）计算判别式 $Δ$ ；

（3）当 $Δ ⩾ 0$ 时，求出相应的一元二次方程的根；

（4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集。

4、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的解

当 $Δ > 0$ 时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 有两个不同的实根（设为 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ），此时 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 的解集为 ${x > x_{1}$ 或 $x > x_{2}$ \}；

当 $Δ = 0$ 时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 有两个相等的实根（设为 $x_{1} = x_{2}$ ，且 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ），此时 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 的解集为 ${\begin{matrix} x | x \neq - \frac{b}{2 a} \end{matrix}}$ ；

当 $Δ < 0$ 时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 无实根，此时 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 的解集为 $R$ 。

二、一元二次不等式的概念的相关例题

一元二次不等式( $x$ +2)( $5$ - $x$ )>0的解集为___

A． $x | x < - 2 $ 或 $ x > 5$

B． $x | x < - 5 $ 或 $ x > 2$

C． $x | - 2 < x < 5$

D． $x | - 5 < x < 2$

答案：C

解析：原一元二次不等式化为( $x$ +2)( $x$ -5)<0，解得-2< $x$ <5，所以不等式的解集为 $x | - 2 < x < 5$ 。故选C。

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