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绝密★启用前
试卷类型：A
2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数 学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A
B. 
C. 
D. 2
2. 已知
，则
（ ）
A 
B. 
C. 0 D. 1
3. 已知向量
，若
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C 
D. 
5. 设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A. 1 B. 
C. 
D. 
7. 记
为数列
的前
项和，设甲：为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知
，则
（ ）．
A. 
B. 
C. 
D. 
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据
，其中
是最小值，
是最大值，则（ ）
A. 
的平均数等于的平均数
B. 的中位数等于的中位数
C. 的标准差不小于的标准差
D. 的极差不大于的极差
10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 | 与声源的距离 | 声压级 |
燃油汽车 | 10 |
|
混合动力汽车 | 10 |
|
电动汽车 | 10 | 40 |
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A. 
B. 
C. 是偶函数 D. 
为的极小值点
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A. 直径为
的球体
B. 所有棱长均为
的四面体
C. 底面直径为
，高为
的圆柱体
D. 底面直径为
，高为的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
14. 在正四棱台
中，
，则该棱台的体积为________．
15. 已知函数
在区间
有且仅有3个零点，则
的取值范围是________．
16. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在
中，
．
（1）求
；
（2）设
，求
边上的高．
18. 如图，
正四棱柱中，
．点
分别在棱
,
上，
．
（1）证明：
；
（2）点
在棱
上，当二面角
时，求
．
19. 已知函数
．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当
时，
．
20. 设等差数列的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前项和．
（1）若
，求的通项公式；
（2）若
为等差数列，且
，求．
21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第
次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
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则
．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
22. 在直角坐标系
中，点到
轴的距离等于点到点
的距离，记动点的轨迹为
．
（1）求的方程；
（2）已知矩形
有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于
．