什么是复数

文/王馨晨

复数是数学中的一个概念,表示包含实数和虚数部分的数。复数以a+bi的形式表示,其中a为实数部分,b为虚数部分,i表示虚数单位。复数是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。

什么是复数

什么是复数

复数是形如a+bi的数。式中a,b为实数,i是一个满足i^2=-1的数,因为任何实数的平方不等于-1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数。

在复数a+bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位。

当虚部等于零时,这个复数就是实数;当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数。由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张。复数常用形式z=a+bi叫做代数式。

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣。设复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z的模|z|=√a²+b²,它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离。

什么是共轭复数

共轭复数,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。当虚部不为零时,共轭复数就是实部相等,虚部相反,如果虚部为零,其共轭复数就是自身。(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭。

共轭复数的性质:

(1)︱x+yi︱=︱x-yi︱

(2)(x+yi)*(x-yi)=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2

复数的运算法则

(1)加法运算

设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

(2)乘法运算

设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2=-1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

(3)除法运算

复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法:可以把除法换算成乘法做,将分子分母同时乘上分母的共轭复数,再用乘法运算。