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因为AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵,所以|AB|=|BA|=1。当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有|B|=1/|A|。所以逆矩阵的行列式等于行列式的倒数。
逆矩阵的性质
1、可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A。即(A⁻¹)⁻¹=A
2、如果矩阵A可逆，那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k
3、如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
4、如果矩阵A可逆，那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ
5、如果矩阵A可逆，那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ
6、如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A⁻¹|=|A|⁻¹
可逆矩阵的定义及其证明方法
可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In任满足一个），其中In为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。
判断矩阵可逆的方法通常有:
(1)定义法，即:若存在矩阵B,使得AB=E，则A可逆;
(2)利用矩阵可逆的判别条件，即:若|A|≠0，则A可逆。
若矩阵A可逆，求A的逆矩阵通常有如下几种方法:
(1)定义法，与A之积为单位矩阵的矩阵即A的逆矩阵;
(2)伴随矩阵法,A-'=ATA" (该方法运算量大，一般不适用于阶数较高的矩阵求逆矩阵);
(3)初等变换法，即(A : E)→(E :A-1);