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根据 |A|A1=A*，有(A1)*= |A1|(A1)1=A/|A|，而(A*)1= (|A|A1)1 = (A1)1/|A| = A/|A|，故矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆，即(A1)*=(A*)1。
伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
逆矩阵
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。
伴随定义：设X和U是两个欧几里得空间,若A是X到U的线性映射,则A的转置将U映射到X,为了和一般意义的转置加以区别,我们将欧几里得空间X到U的线性映射A的转置称为A的伴随,记做：A*，完整定义为：任意u∈U,L(x)=(Ax,u)。
伴随矩阵的特征值和特征向量：
当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。矩阵的秩等于列秩，秩小于n表示矩阵的列向量组线性相关，则其齐次线性方程组有非零解。由Cramer法则，行列式为0。
一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念，如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。
伴随矩阵可以用来求逆矩阵，逆矩阵等于伴随矩阵乘行列式的倒数，所以行列式必须不等于0。求逆矩阵有两种方法。一是利用伴随矩阵乘以这个矩阵的行列式的倒数。
二是将这个矩阵A扩充为A;E然后对这个增广矩阵做初等变换，让左边的A变为E，此时右边的E则变成了A的逆。
伴随矩阵三大公式
公式一：AA^* = A^*A = |A|E
这是伴随矩阵定义式，也是判定方式。原矩阵同阶的可交换方阵；和原矩阵相乘结果是行列式值和单位矩阵之积。
公式二：A-1=1/|A| * A*
逆矩阵的另外一种定义方式。
公式三：对于可逆矩阵有公式A^* = |A|A^-1
可以求出可逆矩阵的伴随矩阵。