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设R为空间X中点的连通关系，每个等价类R[x]称为空间X的一个连通分支。设Y为空间X的非空子集，Y作为X的子空间的连通分支称为X的子集Y的连通分支。拓扑空间X的所有连通分支之族是X的一个分类。换言之，X的每个连通分支都是非空集；X的不同连通分支不相交；X的所有连通分支之并为X。
对于一个无向图而言，它的一个极大连通子图即为一连通支。比如说，一个图由三部分构成，其中每一部分都是连通的，但三个部分之间互相不连通，那么每一部分即为无向图的一个连通分支。此图的连通分支数为3。
更形象些，你把教学楼附近的几棵树合起来看做是一个无向图，树叶和树枝分叉点为图的结点，树枝为图的边，每一棵树是连通的，但树与树之间没有树枝相连。因而，每棵树都可视为一个连通分支，树的个数为连通分枝数。
拓扑空间X的所有连通分支之族是X的一个分类。换言之，X的每个连通分支都是非空集；X的不同连通分支不相交；X的所有连通分支之并为X。
拓扑空间X是连通空间当且仅当X是它的唯一连通分支。C不是拓扑空间X的任意连通子集的真子集。则称C为拓扑空间X的一个连通分支(或极大连通子集)，设X是多于一点的拓扑空间，若拓扑空间X的每个单点集都是X的连通分支。