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转置矩阵的行数是原矩阵的列数，转置矩阵的列数是原矩阵的行数。转置矩阵下标（i，j）的元素对应于原矩阵下标（j，i）的元素。把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵。使用二维数组作为矩阵的存储结构，根据转置矩阵的特点，很容易得到转置矩阵。
矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。正交矩阵的一个重要性质就是它的转置矩阵就是它的逆矩阵。