有界函数的定义 什么是有界函数

文/李傲

有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数的定义 什么是有界函数

有界函数的定义

设函数f(x)的定义域为D,f(x)集合D上有定义。

如果存在数K1,使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有上界。

反之,如果存在数字K2,使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有下界,而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M,使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立,则称函数在X上有界。如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界;等价于,无论对于任何正数M,总存在x1属于X,使得|f(x1)|>M,那么函数f(x)在X上无界。

此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

函数的性质

函数的有界性与其他函数性质之间的关系

函数的性质:有界性,单调性,周期性,连续性,可积性。

单调性:

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

连续性:

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

可积性:

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

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