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在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程。
解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程。但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。
产生增根的原因:
当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
检验根的方法:
将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。
为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去。
注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公
分母为0。
用去分母法解分式方程的一般步骤:
(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(ii)解所得的整式方程;
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决。辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法。换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。
用换元法解分式方程的一般步骤:
(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数
式;
(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;
(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;
(iv)检验做答。
注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。
(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤。
解分式方程一般步骤
①观察分式方程的特征，注意看分母，能分解因式的先分解，然后去寻找最简公分数。
找最简公分母的方法：将每个分母分解因式，找出所有出现因式的最高次幂，它们的积为最简分母的因式。
②去分母，给分式方程中的每一项都乘最简公分母，再约分，把原方程转化为整式方程；
注意：去分母时要给每一项都乘以最简公分母，不含分母的项不要忘乘最简公分母。
③解这个整式方程，得到整式方程的解；
这一步一般需要运用到整式的乘法、合并同类项、解一元一次方程或一元二次方程等知识点，之前的基础不牢固的话，需要先去复习巩固。
④验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则这个分式方程无解，x的值是这个分式方程的增根。
验根很容易被忽视，最终的解只是分式方程化为整式方程之后的解，不一定能满足分式方程的分母不为0这个条件，所以需要验根。