面面垂直可以推出线线垂直吗

文/叶丹

面面垂直是推不出线线垂直的,但是线面垂直能推出来线线垂直,即一直线如果垂直某平面,则该直线垂直此平面内任一直线;该线所在任何平面也垂直于此平面。

面面垂直可以推出线线垂直吗

线面垂直几何法判定定理

已知l⊥m,l⊥n,m,n⊂α,m∩n=E。求证:EF⊥α

因为平移不改变角度,所以可以通过平移把所有的直线移动到相交于一点的位置来证明。

证明:∵l⊥m,l⊥n

∴在α内所有与m或n平行的直线都与l垂直。

接下来证明那些与m,n不平行的直线也与l垂直。

取m上A,B两点,取n上C,D两点,使AE=BE,CE=DE

连接AD,BC,过E作任意一条直线,该直线与AD,BC交点为G,H(稍后将讨论GH与AD,BC平行的情况)

取l上异于E的点F,连接FA,FG,FD,FB,FH,FC

∵AE=BE,CE=DE,∠AED=∠BEC

∴△AED≌△BEC(SAS)

∴∠DAE=∠CBE,AD=BC

∵∠AEG=∠BEH

∴△AEG≌△BEH(ASA)

∴AG=BH,GE=HE

∵EF⊥AB,AE=BE

∴FA=FB

同理,FC=FD

∴△FAD≌△FBC(SSS)

∴∠FAG=∠FBH

∴△FAG≌△FBH(SAS)

∴FG=FH

又∵GE=HE

∴FE⊥GH

由GH的任意性可知,EF垂直平面内任意与AD,BC都不平行的直线

当GH∥AD∥BC时,可以连接AC,BD,那么GH必与AC,BD相交

之后证明方法同上,只需要改字母即可。

根据线面垂直的定义,l⊥α