面面垂直可以推线线垂直吗

文/叶丹

面面垂直推不出线线垂直,但线面垂直则线线垂直,即一直线垂直某平面,则该线垂直此平面内任一直线;该线所在任何平面也垂直于此平面。在不同平面的三角形和正方形互相垂直,并不需要该三角形的任一条边与该正方形垂直为先决条件。

面面垂直可以推线线垂直吗

判定定理

一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。

几何描述:若a⊥β,a⊂α,则α⊥β

证明:任意两个平面关系为相交或平行,设a⊥β,垂足为P,那么P∈β

∵a⊂α,P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P,因此α与β相交。

设α∩β=b,∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β,a⊥β

∴a⊥b,垂足为P

又c⊥b,垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c,即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义,α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面,那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a,a∥β,求证α⊥β

证明:过a任意作一个平面γ与β相交,设交线为c

∵a∥β

∴a∥c(线面平行的性质定理)

∵a⊥α

∴c⊥α(线面垂直的性质定理)

∵c⊂β

∴β⊥α(定理1)

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直,那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)

证明:设有a⊥α,b⊥β,且a⊥b

则根据线面平行的判定定理,有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β(推论1)

这些定理和推论都是向量法解题的基础,例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行,那么这两个平面就垂直。