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二项式系数的值均为整数。我们可以通过赋值法来求解二项式系数之和,其公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
如何求解二项式系数之和
对于二项式的各项系数之和,我们同样可以采用赋值法来求解。
考虑(ax+b)ⁿ的二项式系数和,当x=1时,即变为(a+b)ⁿ,此时的系数和即为2ⁿ。
将x的位置替换为1,即可得到二项式的各项系数之和。
二项式系数之和与各项系数之和的区别在于：
二项式系数：表示未知数的组合数,其值始终为正。二项式系数之和的公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
各项系数：表示未知数的系数,其值可正可负。各项系数之和即为所有未知数的系数之和。
二项式系数的定义
在数学中,二项式系数（或组合数）被定义为(1 + x)ⁿ展开后x的系数（其中n为自然数,k为整数）。从定义可以看出,二项式系数的值都是整数。
二项式系数的等式可以通过其公式进行证明,也可以从组合数学的角度进行推导。例如,第一式的左项表示从n+1件物品中选取k件的方法数,这些方法可以分为没有选取第n+1件（即从其余n件中选取k件）和选取了第n+1件（即从其余n件中选取k-1件）两种情况。而第二式则表示从n件物品中选取k件的方法数,也可以看作是从n件物品中选取其余n-k件的方法数。