三角函数是数学中的基本初等函数之一,具有独特的图像和性质。以下是对三角函数图像与性质的详细分析:
一、三角函数图像
正弦函数y=sinx
图像特征:正弦函数的图像是一个周期性的波形,它在每个周期内有一个波峰和一个波谷,波峰和波谷的纵坐标分别为1和-1。
对称性:正弦函数图像关于原点对称,也关于直线x=kπ+π/2(k∈Z)对称。
余弦函数y=cosx
图像特征:余弦函数的图像也是一个周期性的波形,与正弦函数图像相似,但相位不同。余弦函数在每个周期内也有一个波峰和一个波谷,但波峰和波谷的纵坐标分别为1和-1,且波峰出现在x=2kπ(k∈Z)处。
对称性:余弦函数图像关于y轴对称,也关于直线x=kπ(k∈Z)对称。
正切函数y=tanx
图像特征:正切函数的图像在每一个周期内,从每一个形如(kπ,0)(k∈Z)的点开始,并伸向无穷远。正切函数的图像在x=kπ+π/2(k∈Z)处有间断点,即不存在。
对称性:正切函数图像关于原点对称,但无其他对称轴。
二、三角函数性质
周期性
正弦函数和余弦函数的周期为2π,即它们的值在每隔2π的角度后重复出现。
正切函数的周期为π,即它的值在每隔π的角度后重复出现。
奇偶性
正弦函数是奇函数,即sin(-x)=-sinx。
余弦函数是偶函数,即cos(-x)=cosx。
正切函数也是奇函数,即tan(-x)=-tanx。
有界性
正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1],即它们的值始终在这个范围内。
正切函数的值域是实数集R,没有上界和下界。
单调性
在特定的区间内,正弦函数和余弦函数可以是增函数或减函数。
正弦函数在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上是增函数,在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。
余弦函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减函数。
正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。
正切函数在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)上是增函数。
和差角公式
三角函数满足一些和差角公式,这些公式允许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。
倍角公式
三角函数也满足一些倍角公式,这些公式允许我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
三角恒等式
三角恒等式是一组恒真的等式,涉及正弦、余弦、正切等三角函数。这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。
单位圆上的定义
三角函数也可以定义为单位圆上的各种线段的长度,这为它们提供了几何解释。
(1)α+2K兀(K∈Z)的诱导公式:
①cos(α+2K兀)=cosα
②sin(α+2K兀)=sinα
③tan(α+2K兀)=tanα
(2)-α的诱导公式:
①cos(-α)=cosα
②sin(-α)=-sinα
③tan(-α)=-tanα
证明:如图,若α的终边在第一象限,交单位圆于P点,作终边关于x轴的对称边,交单位圆O于P',则P'(cos(-α),sin(-α))。
所以,cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα,tan(-α)=-tanα。
同理可得,任意非x轴角的终边与其相反角的终边一定是关于x轴对称的。当α的终边在x轴上时,公式成立。所以,cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα,tan(-α)=-tanα(α在y轴上时,此值不存在)。
(3)兀±α的诱导公式:
①cos(α+兀)=-cosα
②sin(α+兀)=-sinα
③tan(α+兀)=tanα
证明:若α的终边在第一象限,延长终边起点交单位圆于P'’,则P''(-cosα,-sinα)(经过圆心的直线即为直径,其为P关于圆心的对称点),而直线PP''的角度为平角,所以优弧AOP''的圆心角即为α+兀。
所以,cos(α+兀)=-cosα,sin(α+兀)=-sinα,tan(α+兀)=tanα
同理可得,任意角α的终边与角α+兀的终边一定是关于原点对称的。
所以,cos(α+兀)=-cosα,sin(α+兀)=-sinα,tan(α+兀)=tanα(α在y轴上时,此值不存在)。
④cos(兀-α)=-cosα
⑤sin(兀-α)=sinα
⑥tan(兀-α)=-tanα
证明:若α的终边在第一象限,延长角-α的终边交单位圆O于P''', 因为OP'为角-α的终边,所以OP'''为角-α的终边,P'''(-cos(-α),-sin(-α))=(-cosα,sinα)。
同理可得,任意非y轴角α的终边与角-α的终边一定是关于y轴对称的。当α的终边在y轴上时,tanα不存在。
所以,cos(兀-α)=-cosα,sin(兀-α)=sinα,tan(兀-α)=-tanα(α在y轴上时,此值不存在)