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绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 已知
，则
（ ）．
A. 
B. 
C. 
D. 1
3. 求圆
的圆心到
的距离（ ）
A. 
B. 2 C. 
D. 
4. 
的二项展开式中
的系数为（ ）
A. 15 B. 6 C. 
D. 
5. 已知向量
，
，则“
”是“
或
”的（ ）条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6
已知
，
，
，
，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记水
质量为
，并且d越大，水质量越好．若S不变，且
，
，则
与
的关系为（ ）
A. 
B. 
C. 若
，则；若
，则；
D. 若，则；若，则；
8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，
，，则该四棱锥的高为（ ）
A. 
B. 
C. D. 
9. 已知
，
是函数
图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 若集合
表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A. 
，
B. ，
C. 
， D. ，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线
，则焦点坐标为________．
12. 已知
，且α与β的终边关于原点对称，则
的最大值为________．
13. 已知双曲线
，则过
且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
14. 已知三个圆柱体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．
15. 已知
，
，
不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.
①，均为等差数列，则M中最多一个元素；
②，均为等比数列，则M中最多三个元素；
③为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素；
④单调递增，单调递减，则M中最多一个元素
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中，
，A为钝角，
．
（1）求
；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
①
；②
；③
．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥P-ABCD，
，
，
，
，E是
上一点，
．
（1）若F
PE中点，证明：
平面
．
（2）若
平面
，求平面
与平面夹角的余弦值．
18. 已知某险种的保费为
万元，前3次出险每次赔付
万元，第4次赔付
万元
赔偿次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
单数 |
|
|
|
|
|
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为
，估计的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降
，已赔偿过的增加
．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
19. 已知椭圆方程C：
，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过
的直线l与椭圆交于A，B，
，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
20. 已知
在
处切线为l．
（1）若切线l的斜率
，求
单调区间；
（2）证明：切线l不经过
；
（3）已知
，
，
，
，其中
，切线l与y轴交于点B时．当
，符合条件的A的个数为？
（参考数据：
，
，
）
21. 设集合
．对于给定有穷数列A和序列Ω：
，
，···，
，
，定义变换T：将数列A的第
，
，
，
列加1，得到数列
；将数列的第
，
，
，
列加1，得到数列
…；重复上述操作，得到数列
，记为Ω（A）．若
为偶数，证明：“Ω（A）为常数列”的充要条件为“
”．
绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为
.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）(i)0.122万元 (ii)
万元
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）证明见解析 （3）2
【21题答案】
【答案】略
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