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2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
．
·如果事件相互独立，那么
．
·球的体积公式
，其中
表示球的半径．
·圆锥的体积公式
，其中
表示圆锥的底面面积，
表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A. 
B. 
C
D. 
4. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 若
，则
大小关系为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 若
为两条不同的直线，
为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若，则
与
相交
7. 已知函数
的最小正周期为
．则函数在
的最小值是（ ）
A. 
B. 
C. 0 D. 
8. 双曲线
的左、右焦点分别为
是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2．
是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 已知
虚数单位，复数
______．
11. 在
的展开式中，常数项为______．
12. 
的圆心与抛物线
的焦点
重合，
为两曲线的交点，则原点到直线
的距离为______．
13. 
五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到的概率为______；已知乙选了活动，他再选择
活动的概率为______．
14. 在边长为1的正方形
中，点
为线段
的三等分点， 
，则
______；若为线段
上的动点，
为中点，则
的最小值为______．
15. 若函数
有唯一零点，则
的取值范围为______．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16. 在
中，
．
（1）求；
（2）求
；
（3）求
．
17. 已知四棱柱
中，底面为梯形，
，
平面，
，其中
．
是
的中点，
是
的中点．
（1）求证
平面
；
（2）求平面与平面
的夹角余弦值；
（3）求点到平面距离．
18. 已知椭圆
椭圆的离心率
．左顶点为，下顶点为
是线段
的中点，其中
．
（1）求椭圆方程．
（2）过点
的动直线与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
19. 已知数列
是公比大于0的等比数列．其前项和为
．若
．
（1）求数列前项和；
（2）设
，
，其中
是大于1的正整数．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
20. 设函数
．
（1）求
图象上点
处的切线方程；
（2）若
在
时恒成立，求的取值范围；
（3）若
，证明
．
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件互斥，那么．
·如果事件相互独立，那么．
·球的体积公式，其中表示球的半径．
·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】20
【12题答案】
【答案】
##
【13题答案】
【答案】 ①. 
②. 
【14题答案】
【答案】 ①. 
②. 
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）存在
，使得恒成立.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①证明见详解；②
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析