台山一中2024届高三第一次月考数学试题
2023-08
一、单选题(本大题共8小题,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 设集合,
,则
( )
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合、
,利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为,
,
所以.
故选:B.
2. 已知i为虚数单位,若复数,则
( )
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算化简复数,再求共轭复数即可.
【详解】因为,所以
.
故选:B.
3. “”是“方程
有正实数根”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点几何意义,将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题,结合二次函数的性质,可得答案.
【详解】由方程有正实数根,则等价于函数
有正零点,
由二次函数的对称轴为
,则函数
只能存在一正一负的两个零点,
则,解得
,
故选:B.
4. 已知,则函数
的最小值为
A. B.
C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先分离,再根据基本不等式求最值,即得结果.
【详解】,当且仅当
,即
时,等号成立.
选A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.
5. 展开式中含
的系数是( )
A. 28 B. C. 84 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据展开式的通项,分别求出展开式中含
、
、
的项的系数,即可得出答案.
【详解】展开式的通项为
,
.
当选取
时,由已知可得,应选取
展开式中含
的项,
由,可得
;
当选取
时,由已知可得,应选取
展开式中含
的项,
由,可得
;
当选取
时,由已知可得,应选取
展开式中含
的项,
由,可得
.
所以,展开式中含
的系数是
.
故选:C.
6. 2023年武汉马拉松于4月16日举行,组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员,每位志愿者去一个路口,每个路口至少有两位引导员,若小王和小李不能去同一路口,则不同的安排方案种数为( )
A. 40 B. 28 C. 20 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,先分配特殊的两个人,再将剩余4个人分到两个路口,按照分组分配相关知识进行计算即可.
【详解】若小王在1号路口,小李在2号路口,则剩余4个人分到两个路口,
两个路口为人分布,共有
种方案,
两个路口为人分布,共有
种方案,
此时共有种方案;
同理若小王在2号路口,小李在1号路口,也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选:B
7. 设,则( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数和
,利用导数求解单调性,即可判断.
【详解】当时,记
,则
,故
在
单调递增,故
,因此得当
时,
,故
,即
;
,设
,则
,因为
,
当时,
.所以
在
上单调递增,所以
,即
,所以
.
故选:A
8. 设函数的值域为A,若
,则
的零点个数最多是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出各段函数的单调性,结合函数图象分类讨论,分别求出函数的零点个数,即可判断;
【详解】解:令,则
在
上单调递减;
令,则
.由
,得
或
;
由,得
,所以
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
于是,的极大值为
,极小值为
.在同一坐标系中作出函数
和
的图象,如下图:
显然;由
,得
;由
的解析式,得
.
(1)若,当
时,
,不符合题意;
(2)若,当
时,
,不符合题意;
(3)若,
①当时,
;
②当时,
,即
.
由①②,时符合题意.
此时,结合图象可知,当时,
在
上没有零点,在
上有2个零点;
当时,
在
上有1个零点,在
上有1个或2个零点,
综上,最多有3个零点.
故选:C.
二、多选题(本大题共4小题,共20分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为
,
,
,
,
,
.则下列说法正确的是( )
A. 估计该样本的众数是
B. 估计该样本的均值是
C. 估计该样本的中位数是
D. 若测试成绩达到分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为
人
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图,可判断A项;根据频率分布直方图,估计出平均数,可判断B项;根据频率分布直方图,估计出中位数,可判断C项;根据频率分布直方图,测试成绩达到分的频率为
,即可估算有资格参加评奖的人数.
【详解】对于A项,由频率分布直方图可得,最高小矩形为,所以可估计该样本的众数是
,故A项正确;
对于B项,由频率分布直方图,可估计该样本的均值是,故B项错误;
对于C项,由频率分布直方图可得,成绩在之间的频率为
,
在之间的频率为
,
所以可估计该样本的中位数在内.
设中位数为,则由
可得,
,故C项正确;
对于D项,由频率分布直方图可得,测试成绩达到分的频率为
,所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为
人,故D项正确.
故选:ACD.
10. 已知非零实数a,b满足,则下列不等关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可.
【详解】解:对于非零实数,
满足
,则
,
即,故A一定成立;
因为,故B一定成立;
又,即
,所以
,故C一定成立;
对于D:令,
,满足
,此时
,故D不一定成立.
故选:ABC
11. 下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量的相关系数为
,则
越小,
与
之间的相关性越弱
B. 设随机变量服从正态分布
,若
,则
C. 在回归分析中,为
的模型比
为
的模型拟合的更好
D. 某人在次答题中,答对题数为
,
,则答对
题的概率最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】由相关系数,正态分布,二项分布的概念判断.
【详解】对于A,两个变量的相关系数为
,
越小,
与
之间的相关性越弱,故A错误,
对于B,随机变量服从正态分布
,由正态分布概念知若
,则
,故B正确,
对于C,在回归分析中,越接近于
,模型的拟合效果越好,所以
为
的模型比
为
的模型拟合的更好,故C正确,
对于D,某人在次答题中,答对题数为
,
,则数学期望
,说明答对
题的概率最大,故D正确.
故选:BCD
12. 已知函数,若不等式
对任意
恒成立,则实数
的取值可能是( )
A. B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令,得到
,推得
为偶函数,得到
的图象关于
对称,再利用导数求得当
时,
单调递增,当
时,
单调递减,把不等式转化为
恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.
【详解】由函数,
令,则
,可得
,
可得,
所以为偶函数,即函数
的图象关于
对称,
又由,令
,
可得,所以
为单调递增函数,且
,
当时,
,
单调递增,即
时,
单调递增;
当时,
,
单调递减,即
时,
单调递减,
由不等式,可得
,即
所以不等式恒成立,即
恒成立,
所以的解集为
,所以
且
,
解得,结合选项,可得BC适合.
故选:BC.
【点睛】关键点睛:本题关键是利用换元法设
,从而得到
,证明其为偶函数,则得到
的图象关于
对称,再结合其单调性即可得到不等式组,解出即可.
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 若命题“”是假命题,则实数
的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“”是真命题.令
,则
解得
,故实数
的最大值为
故答案为:
14. 已知向量满足
,则
与
的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质,结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】由,
,
故答案为:
15. 已知,
为椭圆C的两个焦点,P为C上一点,若
,则C的离心率为______.
【答案】.
【解析】
【分析】利用椭圆的定义及,得到
,进而得解.
【详解】为椭圆
上一点,由椭圆的定义知,
,
因为,
所以,所以
.
故答案为:.
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义,属于基础题.
16. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动,高一100人中女生占,高二60人中女生占
,则从中抽取1人恰好是女生的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】用分别表示取的一人是来自高一和高二,
表示抽取一个恰好是女生,则由已知可知:
,且
,
所以
故答案为:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 在中,
=60°,c=
a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)直接利用正弦定理求解即可,
(2)求出,再利用余弦定理求出
,然后利用三角形面积公式可求得答案
【小问1详解】
在中,因为
,
,
所以由正弦定理得.
【小问2详解】
因为,所以
.
由余弦定理得
,
解得或
(舍).
所以的面积
.
18. 设为函数
的导函数,已知
,且
的图像经过点
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求函数在
上的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为和
;单调递减区间为
【解析】
分析】(1)求导,计算
得到切线斜率,点斜式求切线方程.
(2)求出函数解析式,求导函数,由导函数的正负解得原函数的单调区间.
【小问1详解】
,则
,得
.
由题意,可得曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
【小问2详解】
由已知得.
又由(1)知,所以
.
故.
,
由,得
,或
;由
,得
.
故在
上的单调递增区间为
和
;单调递减区间为
.
19. 已知图1是由等腰直角三角形和菱形
组成的一个平面图形,其中菱形边长为4,
,
.将三角形
沿
折起,使得平面
平面
(如图2).
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)取的中点
,连接
,
,则
,再结合已知面面垂直可得
平面
,则
,而
,再由线面垂直的判定可得
面
,从而可证得
,
(2)以,
,
所在的直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明:取的中点
,连接
,
.
∵,∴
.
又∵平面平面
,且平面
平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,∴
.
∵在菱形中,
, ∴
为等边三角形,
∵的中点为
,∴
,
∵∥
,∴
∵,
平面
,
∴平面
,∵
平面
,∴
.
【小问2详解】
由(1)平面
,∵
平面
,∴
,
∵,
∴如图,以,
,
所在的直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,则
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
,则
,不妨设
,则
.
设平面的法向量为
,则
,令
,则
,
设二面角的大小为
,由图可知
为钝角,
∴,∴
.
∴二面角的正弦值为
.
20. 已知数列的首项
,且满足
,设
.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若,求满足条件的最小正整数
.
【答案】(1)证明见解析
(2)140
【解析】
【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;
(2)利用分组求和的方法得到,然后利用
的增减性解不等式
即可.
【小问1详解】
,
,所以数列
为首项为
,公比为
等比数列.
【小问2详解】
由(1)可得
,
即
∴
而随着
的增大而增大
要使,即
,则
,
∴的最小值为140.
21. 已知椭圆E:与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且
是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2
与椭圆E交于不同的两点A,B.
(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
【详解】(1)因为是边长为2的等边三角形,
所以,
,
,所以
,
所以椭圆:
,点
.
将直线代入椭圆
的方程,
整理得:,(*)
设,则由(*)式可得
,
所以,
,
,
所以直线的斜率之积
所以直线斜率之积是定值
.
(2)记直线与
轴的交点为
,
则
当且仅当,即
时等号成立.
所以的面积的最大值为
.
22. “英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动.
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,表示选取的人中来自该中学的人数,求
的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,
,且
,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?
【答案】(1)分布列见解析,
(2)11轮
【解析】
【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可;
(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值,再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【小问1详解】
由题意可知的可能取值有0、1、2、3,
,
,
,
所以,随机变量的分布列如下表所示:
0 | 1 | 2 | 3 | |
所以.
【小问2详解】
他们在每轮答题中取得胜利的概率为
,
由,
,
,得
,
则,因此
,
令,
,于是当
时,
.
要使答题轮数取最小值,则每轮答题中取得胜利的概率取最大值.
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为
,则
,
,
由,即
,解得
.
而,则
,所以理论上至少要进行11轮答题.