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2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. “
”是“
”
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若
，则
的大小关系为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 函数
的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. 
B. 
C
D. 
5. 已知函数的一条对称轴为直线
，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知
为等比数列，
为数列的前
项和，
，则
的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数
，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8. 在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥的体积之比为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一条渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A. 
B. 
C 
D. 
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 已知
是虚数单位，化简
的结果为_________．
11. 在
的展开式中，
项的系数为_________．
12. 过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于点，若
，则
的值为_________．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为
．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为
．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14. 在
中，
，
，点
为
中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为_________．
15. 若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角
所对的边分別是．已知
．
（1）求
值；
（2）求
的值；
（3）求
．
17. 三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
（1）求证：
//平面
；
（2）求平面与平面
所成夹角的余弦值；
（3）求点
到平面的距离．
18. 设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线的方程．
19. 已知是等差数列，
．
（1）求的通项公式和
．
（2）已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
20. 已知函数
．
（1）求曲线
在处切线的斜率；
（2）当
时，证明：
；
（3）证明：
．
2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
【10题答案】
【答案】
##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. 
②. 
##
【14题答案】
【答案】 ①. 
②. 
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）椭圆的方程为
，离心率为
.
（2）
.
【19题答案】
【答案】（1）
，
；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
，前项和为
.
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
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