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2023年江苏省高考仿真数学试卷
参考公式：柱体的体积
，其中
是柱体的底面积，
是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
，则
．
2．已知
是虚数单位，则复数
的实部是 ．
3．已知一组数据
的平均数为4，则
的值是 ．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
5．如图是一个算法流程图，若输出
的值为
，则输入
的值是 ．
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是 ．
7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，
，则
的值是 ．
8．已知
=
，则
的值是 ．
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.
10．将函数
的图象向右平移
个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 ．
11．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和
，则d+q的值是 ．
12．已知
，则
的最小值是 ．
13．在△ABC中，
D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
（m为常数），则CD的长度是 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知
，A，B是圆C：
上的两个动点，满足
，则△PAB面积的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
16．（14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求
的值；
（2）在边BC上取一点D，使得
，求
的值．
17．（14分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，
为铅垂线(
在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离
(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式
；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离
(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式
.已知点B到的距离为40米．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价
(万元)(k>0)，问
为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
18．（16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求
的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求
的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记
与
的面积分别为S1，S2，若
，求点M的坐标．
19．（16分）
已知关于x的函数
与
在区间D上恒有
．
（1）若
，求h(x)的表达式；
（2）若
，求k的取值范围；
（3）若
求证：
．
20．（16分）已知数列
的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有
成立，则称此数列为“λ～k”数列．
（1）若等差数列
是“λ～1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“
”数列，且
，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且
？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
2023年江苏省高考仿真数学试卷答案
1．
2．3 3．2 4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．4 12．
13．
或0 14．
15．证明：因为
分别是
的中点，所以
.
又
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）因为
平面
，
平面
,
所以
.
又
,
平面,
平面
,
所以
平面
.
又因为平面
,所以平面
平面
.
16．解：（1）在
中，因为
，
由余弦定理
，得
，
所以
.
在中，由正弦定理
，
得
，
所以
（2）在
中，因为
,所以
为钝角，
而
,所以
为锐角.
故
则
.
因为
，所以
，
.
从而
.
17．解：（1）设
都与
垂直，
是相应垂足.
由条件知，当
时，
则
.
由
得
所以
（米）.
（2）以
为原点，
为
轴建立平面直角坐标系
（如图所示）.
设
则
.
因为
所以
.
设
则
所以
记桥墩
和
的总造价为
，
则
，
令
得
所以当
时，
取得最小值.
答：（1）桥
的长度为120米；
（2）当
为20米时，桥墩
和
的总造价最低.
18．解：（1）椭圆
的长轴长为
，短轴长为
，焦距为
，
则
.
所以
的周长为
.
（2）椭圆
的右准线为
.
设
，
则
，
在
时取等号.
所以
的最小值为
.
（3）因为椭圆的左、右焦点分别为
，点
在椭圆
上且在第一象限内，
，
则
.
所以直线
设
，因为
，所以点
到直线
距离等于点
到直线
距离的3倍.
由此得
，
则
或
.
由
得
，此方程无解；
由
得
，所以
或
.
代入直线
，对应分别得
或
.
因此点
的坐标为
或
.
19．解:（1）由条件
，得
，
取
，得
，所以
．
由
，得
，此式对一切
恒成立，
所以
，则
，此时
恒成立，
所以
．
（2）
.
令
，则
令
，得
.
所以
.则
恒成立，
所以当且仅当
时，
恒成立．
另一方面，
恒成立，即
恒成立，
也即
恒成立．
因为
，对称轴为
，
所以
，解得
．
因此，k的取值范围是
（3）①当
时，
由
，得
，整理得
令
则
．
记
则
恒成立，
所以
在
上是减函数，则
，即
．
所以不等式
有解，设解为
，
因此
．
②当
时，
．
设
，
令
，得
．
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，是增函数．
，
，则当
时，
．
（或证：
．）
则
，因此
．
因为
，所以
．
③当
时，因为
，
均为偶函数，因此
也成立．
综上所述，．
20．解：（1）因为等差数列
是“λ～1”数列，则
，即
，
也即
，此式对一切正整数n均成立．
若
，则
恒成立，故
，而
，
这与是等差数列矛盾．
所以
．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）因为数列
是“
”数列，
所以
，即
．
因为
，所以
，则
．
令
，则
，即
．
解得
，即
，也即
，
所以数列
是公比为4的等比数列．
因为
，所以
．则
（3）设各项非负的数列为“
”数列，
则
，即
．
因为
，而
，所以
，则
．
令
，则
，即
．（*）
①若
或
，则（*）只有一解为
，即符合条件的数列
只有一个．
（此数列为1，0，0，0，…）
②若
，则（*）化为
，
因为
，所以
，则（*）只有一解为，
即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）
③若
，则
的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，
则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．
所以
或
．
由于数列
从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，
的取值范围是
．
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（10分）
平面上点
在矩阵
对应的变换作用下得到点
．
（1）求实数
，
的值；
（2）求矩阵
的逆矩阵
．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，已知点
在直线
上，点
在圆
上（其中
，
）．
（1）求
，
的值；
（2）求出直线
与圆
的公共点的极坐标．
C．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设
，解不等式
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（10分）
在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=
,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=
BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
23．（10分）
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4-2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为
，所以
解得
，所以
．
（2）因为
，
，所以
可逆，
从而
．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）由
，得
；
，又（0，0）（即（0，
））也在圆C上，
因此
或0．
（2）由
得
，所以
．
因为
，
，所以
，
．
所以公共点的极坐标为
．
C．[选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．
解：当x>0时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．
解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．
又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．
以
为基底，建立空间直角坐标系O–xyz．
因为BD=2，
，AO=2，
所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．
因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）．
则
=（1，0，–2），
=（1，1，1），
所以
．
因此，直线AB与DE所成角的余弦值为
．
（2）因为点F在BC上，
，
=（–1，2，0）．
所以
．
又
，
故
．
设
为平面DEF的一个法向量，
则
即
取
，得
，
，所以
．
设
为平面DEC的一个法向量，又
=（1，2，0），
则
即
取
，得
，
，
所以
．
故
．
所以
．
23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）
，
，
，
．
（2）当
时，
，①
，②
，得
．
从而
，又
，
所以
，
．③
由②，有
，又
，
所以
，．
由③，有
，．
故
，．
的概率分布
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
则
．