-
-
2022甘肃高考数学冲刺试卷及答案解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数
，则z2= （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合A=
，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩(CRB)为 （ ）
A．(-1，5) B．(-1，3)
C．(
-∞，-1) ∪[3，+∞) D．[3，5]
3．与函数
的图象相同的函数是 （ ）
A. y = x-1 B. y = 
C. y = |x-1| D. y =
4．若曲线
在点
处的切线方程是
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．某个容量为
的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4, 5）上的数据的频数为 （ ）
A．70 B．
C．30 D．
6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，
如果P（ξ<4）=0．3，那么n的值为 （ ）
A．3 B．4
C．9 D．10
7．函数y =
的最大值是 （ ）
A．3 B．4 
C．8 D．5
8．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则 （ ）
A．a < c < b B．b < c < a C．a < b < c D．b < a < c
9．若
与
在区间（1，2）上都是减函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．（0，1） D．
10．已知函数
，
是
的反函数，若
（
），则
的值为 （ ）
A．
B．4 C．1 D．10
11．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ） A．a <0 
B．a >0 C．a <-1 D．a >1
12．数列{an}中，a1=
，an+an+1=
，则
（a1+a2+…+an） = （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f （x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x） = a f （x）+bg（x） +2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是 ．
14．等差数列{
}中，
，
，则此
数列的前15项之和是 ．
15．已知数列{}的前n项和
（
），那么数列{}的通项= ．
16．若关于x的不等式2－
>|x－a| 至少有一个负数解，则实数a的取值范围是 ．
三、解答
题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解关于x的不等式：
（a＞0，a≠1）．
18．（本题10分）已知函数
是奇函数，当x>0时，
有最小值2，且f （1）
．
（Ⅰ）试求函数的解析式；
（Ⅱ）函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（
），数列{bn}满足bn=an+1-2an．
（Ⅰ）求证:数列{
-
}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}的通项公式；
（Ⅲ）求
．
20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是
，构造数列
，使得
，记
．
（Ⅰ）求
的概率；
（Ⅱ）若前两次均出现正面，求
的概率．
21．（本题12分）已知函数对任意实数p、q都满足
．
（Ⅰ）当
时，求
的表达式；
（Ⅱ）设
求
；
（Ⅲ）设
求证：
．
22．（本题14分）已知函数f （x） = ax3 +x2 -ax，其中a，x∈R．
（Ⅰ）若函数f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数
的单调递减区间；
（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数
， x∈[-1, b]
（b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b的最大值．
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | D | A | C | D | B | D | D | A | C | B |
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．-1； 14．180； 15．
； 16．
三、解答题：（共70分）
17．（本题10分）
解：原不等式等价于
……① ……………1分 ① 当
时，①式可化为
即 
亦即 
∴ x > a+1 ………………5分
②当
时，①式可化为
即 
亦即
∴
………………9分
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为． ．………………10分
18．（本题10分）
解：（Ⅰ）∵ f（x）是奇函数 ∴f（―x） =―f（x）
即
……………………1分
当且仅当
时等号成立．则
……2分
由
得 
，即
，
，解得
；
又 
，
…………………………
…………………5分
（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f （x）图象上，
则关于（1，0）的对称点（
，―y0）也在y =f （x）图象上， …………6分
则 
解得：
或
∴函数f （x）图象上存在两点
和
关于点（1，0）
对
称． …………………………………10分
19．（本题12分）
解：（Ⅰ）由 
an+2-3an+1+2an= 2n+1 得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；
即 bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；
∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，
∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1
=2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1． ………………………6分
即 an+1-2an=2n+1，∴ 
；
∴ {
}是首项为0，公差为1的等差数列，
则 
，∴
． ………………………9分
（Ⅲ） ∵ 
，
∴
． ………………………12分
20．（本题12分）
解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则
； ………………………6分
（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为
．
则
． ………12分
21．（本题12分）
解：（Ⅰ）由已知得 
． ………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
；
于是
=
；
故 
=6
=
． ………………………7分
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 ： 
，设
则
．
两式相减得
+…+
∴ 
． ……………………12分
22．（本题14分）
解：（Ⅰ）解法一：
依题意知方程
在区间（1，2）内有不重复的零点，
由
得
∵x∈（1，2）， ∴
∴
；
令 
（x∈（1，2）），则
，
∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为
，
故a的取值范围是． ………………………5分
解法二：
依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复
的零点，
当a=0时，得 x=0，但0
（1，2）；
当a≠0时，方程的△=1+12a2>0，
,必有两异号根，
欲使f （x） 在区间（1，2）上不是
单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设
，则F（1）·F（2）<0，
即 （2a+2）（11a+4）<0，解得 
，
故 a的取值范围是 ．
（解法二得分标准类比解法一）
（Ⅱ）函数g （x） 的定义域为（0，+∞），
当 a≥0时，g （x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；
当 a<0时，g （x）的单调递减区间是
………………8分
（Ⅲ）
；
依题意 
在区间[-1, b]上恒成立，
即 
①
当x∈[-1, b] 恒成立，
当 x=-1时，不等式①成立；
当 -1< x ≤b时，不等式①可化为
②
令 
，由a∈（-∞,-1]知，
的图像是
开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，
而
，
∴不等式②恒成立的充要条件是
，
即
，
亦即 
a∈（-∞,-1]；
当a∈（-∞,-1]时，
，
∴ 
（b >-1）， 即 b2+b-4 ≤ 0；
解得 
；
但b >-1， ∴
；
故 b的最大值为
，此时 a =-1符合题意． ……………14分