相似矩阵的特征值一定相同吗

文/李文源

相同。相似矩阵的性质:两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同;两者的秩相等;两者的行列式值相等;两者的迹数相等;两者拥有同样的特征多项式;两者拥有同样的初等因子。

相似矩阵的特征值一定相同吗

相似矩阵

在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法:

(1)判断特征值是否相等;

(2)判断行列式是否相等;

(3)判断迹是否相等;

(4)判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件,而非充分条件。

(两个矩阵若相似于同一对角矩阵,这两个矩阵相似。)

特征值

特征值是指设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。

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