实对称矩阵的特征值是对角线上的元素吗

文/李傲

是。实对称矩阵的特征值之和等于对角线上的元素之和。设A是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得Ax=mx成立,则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。

实对称矩阵的特征值是对角线上的元素吗

实对称矩阵主要性质

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。

特征向量的性质

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一,它有着广泛的应用。数学上,线性变换的特征向量(本征向量)是一个非简并的向量,其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值)。

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变,或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

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