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三角函数
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考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．
解题思路：
其关键是审清题意，画出图形，建立解三角形模型，最后解答。
1、解应用题的一般步骤是：（1）分析：审题、理解题意，分清已知与未知，根据题意画出示意图；（2）建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量与求解量集中在一个三角形中；（3）求解：运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有序地解出这些子三角形，求得数学模型的解。（4）检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
2、解应用题中的几个角的概念（1）仰角、俯角（2）方向角（3）方位角
三角函数 知识要点
1. ①与
（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角
的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合： 
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在
轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
≈0.01745（rad）
3、弧长公式：
. 扇形面积公式：
4、三角函数：设
是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 
； 
； 
； 
； 
；. 
.
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 | 定义域 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
,
,
,
.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
| | | | |
（A、 |
定义域 | R | R | | | R |
值域 |
|
| R | R |
|
周期性 | |
|
|
|
|
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 奇函数 | 当 当 |
单调性 |
|
上为减函数 （
|
|
|
|
＞0）
非奇非偶
奇函数
上为增函数；
上为减函数（
）
；上为增函数
上为增函数（
上为减函数（
上为增函数；
上为减函数（
注意：①
与
的单调性正好相反；
与
的单调性也同样相反.一般地，若
在
上递增（减），则
在上递减（增）.
②
与
的周期是.
③
或
（
）的周期
.
的周期为2
（
，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是
（
），对称中心（
）；的对称轴方程是
（），对称中心（
）；
的对称中心（
）.
⑤当
·
；·
.
⑥与
是同一函数,而
是偶函数，则
.
⑦函数
在
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
，奇函数：
）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
是奇函数，
是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
的定义域，则一定有
.（
的定义域，则无此性质）
⑨
不是周期函数；
为周期函数（
）；
是周期函数（如图）；
为周期函数（）；
的周期为
（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩
有
.
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期
，频率
，相位
初相
（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数y＝sinx，
的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是
．
函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y＝tanx，
的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是
．
函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
反三角函数：⑴反正弦函数
是奇函数，故
，
（一定要注明定义域，若
，没有
与
一一对应，故
无反函数）
注：
，
，
.
⑵反余弦函数
非奇非偶，但有
，.
注：①
，
，
.
②
是偶函数，
非奇非偶，而
和
为奇函数.
⑶反正切函数：
，定义域
，值域（
），
是奇函数，
，
.
注：
，
.
⑷反余切函数：
，定义域
，值域（），
是非奇非偶.
，
.
注：①
，
.
②
与
互为奇函数，
同理为奇而
与
非奇非偶但满足
.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
的取值范围 解集 的取值范围 解集
①
的解集 ②
的解集
＞1 
＞1
=1 
=1 
＜1 
＜1 
③
的解集：
③
的解集：
二、三角恒等式.
组一
组二
组三 三角函数不等式
＜
＜
在
上是减函数
若
，则
经典例题：
