幂函数和指数函数区别在哪

文/叶丹

定义不同,从两者的数学表达式来看,两者的未知量X的位置刚好互换。图像不同:指数函数的图象是单调的,始终在一、二象限,经过(0,1)点;幂函数需要具体问题具体分析。

幂函数和指数函数区别在哪

指数函数和幂函数

1、计算方法不同

指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1),当a>1时,函数是递增函数,且y>0;当0<a<1时,函数是递减函数,且y>0.

幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1)。a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。

2、性质不同

幂函数性质:

(1)正值性质

当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:

a、图像都经过点(1,1)(0,0);

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0;

(2)负值性质

当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:

a、图像都通过点(1,1);

b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。

c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。

(3)零值性质

当α=0时,幂函数y=xa有下列性质:

y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

指数函数性质:

(1)指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

(2)指数函数的值域为(0,+∞)。

(3)函数图形都是上凹的。

(4)a>1时,则指数函数单调递增;若0<a<1,则为单调递减的(图2)。

(5)可以看出,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(不等于0),函数曲线分别趋向于接近y轴正半轴和x轴负半轴单调递减函数的位置,以及单调递增函数的位置。Y轴的正半轴和X轴的负半轴。水平线y=1是由减到增的过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

(7)指数函数无界。

(8)指数函数是非奇非偶函数。

指数函数具有反函数,其反函数是对数函数,它是一个多值函数。

幂函数的单调区间

当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:

①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;

②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;

③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。

当α为分数时(且分子为1),α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:

①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;

②当α>0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递增;

③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;

④当α<0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。