直线与平面平行的判定定理定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。已知:a∥b,a∉α,b⊂α,求证:a∥α反证法证明:假设a与α不平行,则它们相交,设交点为A,那么A∈α∵a∥b,∴A不在b上在α内过A作c∥b,则a∩c=A又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,与a∩c=A矛盾。∴假设不成立,a∥α向量法证明:设a的方向向量为 a,b的方向向量为 b,面α的法向量为 p。∵b⊂α∴ b⊥ p,即 p· b=0∵a∥b,由共线向量基本定理可知存在一实数k使得 a=k b那么 p· a= p·k b=k p· b=0 即 a⊥ p∴a∥α定理2平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。
求证:a∥α证明:设a与b的垂足为A,b与α的垂足为B。假设a与α不平行,那么它们相交,设a∩α=C,连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面,因此ABC首尾相连得到△ABC∵B∈α,C∈α,b⊥α∴b⊥BC,即∠ABC=90°∵a⊥b,即∠BAC=90°∴在△ABC中,有两个内角为90°,这是不可能的事情。∴假设不成立,a∥α。