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关于suggest这个单词，没有suggest sb.to do这种说法，只能是suggest sb. do sth.或suggest doing sth.。
suggest的具体用法
suggest 表示“建议”或“提出(意见、计划等)”意思时有三种用法：
1. 只能用动名词作宾语
1）主语也参与提议的动作，如：
He suggested going out for a walk. 他建议出去走走。
2）主语建议他人做某事，如：
He suggested us going out for a walk. 他建议我们出去走走。（此句也可以改为 He suggested our going out for a walk.这里的 one doing 或 one's doing 称做动名词的复合结构，其中的代词 one 或 one's 是动名词的逻辑主语）
由此证明“别班老师说 suggest sb doing sth 固定搭配”是完全正确的。
2. 跟宾语从句，但是从句中必须用 should do 或者省略 should 直接用动词原形 do，如：
He suggested that we (should) take a walk. 他提议我们去散步。
由此证明“代课老师说 suggest sb do sth，suggest后省略 that ，sb后省略 should”也是正确的。
3. 用名词作宾语，构成 suggest sth. for sb. to do, 表示建议某事让某人去做。如：
He suggested a plan for us to draw up 他提出一个计划让我们去制定。
由此证明“ suggest sb to do sth 后面的作宾补”是错误的说法。