积分的运算法则

文/叶丹

积分的运算法则:积分的运算法则,别称积分的性质。积分是线性的。如果一个函数f可积,那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积,那么它们的和与差也可积。

积分的运算法则

通常意义

积分都满足一些基本的性质。以下的I在黎曼积分意义上表示一个区间,在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

线性

积分是线性的。如果一个函数f可积,那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积,那么它们的和与差也可积。

线性

保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论,如果两个I上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。

如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0,那么除了有限个点以外,f=0。如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0,那么f几乎处处为0。如果F中元素A的测度μ(A)等于0,那么任何可积函数在A上的积分等于0。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果对F中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。

介值性质

如果f在I上可积,M和m分别是f在I上的最大值和最小值,那么:

mL(I)≤∫If≤ML(I)

其中的L(I)在黎曼积分中表示区间I的长度,在勒贝格积分中表示I的测度。

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