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∵(a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab；当且仅仅当a=b时等号成立(a，b∈R）。∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；当且仅仅当m=n时等号成立(m，n∈R+)。
均值不等式证明
用数学归纳法的证明
第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。
第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),两边乘k：
a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),
因此≥成立。
（2）难点是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其实也很好证明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a（k+1），也是k个数。
根据上面假设，n=k时，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，
注意！！！a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a（k+1），和k-1个（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的！代换一下，就成了：
a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面两项提取k之后成为：
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√（a1a2）（当成公式，不是当成数）
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]
然后代入即可。