上海2025年数学高考试题答案及解析（网传版 上海卷）

（网络收集）2025年上海卷数学卷高考真题带答案带解析文字版

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)

1.已知全集，集合，则______.

【答案】[4,5]

【解析】由题意,

2.不等式的解集为______.

【答案】(1,3)

【解析】由题意,

3.等差数列,,公差,则______.

【答案】12

【解析】由题意,

4.在二项式的展开式中，的系数为______.

【答案】80

【解析】由题意,时为80

5.函数在上的值域为______.

【答案】[0,1]

【解析】由题意，y=cosx在单调递增，在单调递减，易得值域为[0,1]

6.已知随机变量X的分布为，则期望______.

【答案】6.3

【解析】

7.如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为______.

【答案】112

【解析】由题意，，

8.设，，则的最小值为______.

【答案】4

【解析】

9.4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______种.

【答案】288

【解析】由题意，.

10.已知复数z满足，，则的最小值是______.

【答案】

【解析】由题意，设，则或，，故z表示复平面或，故表示z在复平面上与(2,3)的距离，故位于(0,1)时最小值为

11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角______．（结果用角度制表示，精确到）

【答案】12.58°

【解析】由题意,由

12.已知函数，、、是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】若两两垂直显然不成立；

故不妨设即不妨设，

故

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案。

13.已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（）

A.0

B.

C.

D.1

【答案】B

【解析】由题意，

14.设，．下列各项中，能推出的一项是（）

A.，且．

B.，且．

C.，且．

D.，且．

【答案】D

【解析】由题意，时；时，故选D

15.已知，，C在上，则的面积（）

A.有最大值，但没有最小值．

B.没有最大值，但有最小值．

C.既有最大值，也有最小值．

D.既没有最大值，也没有最小值．

【答案】A

【解析】由题意，AB与渐近线平行，故当C无限逼近渐近线时，ΔABC在AB上的高无限逼近渐近线与AB的距离，故无最小值；当C位于(1,0)时，ΔABC在AB上的高最大，此时面积有最大值。

16.设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（）

A.1个．

B.3个．

C.4个．

D.无穷．

【答案】B

【解析】不妨设，

由在线段上，故令

故列举：

当时，显然不成立；

当时，显然不成立；

同理易得当时，或；

当时，；

综上，应为3个。

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．

206.78      207.46      207.95      209.34      209.35

210.68      213.73      214.84      216.93      216.93

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78，

故极差为216.93－206.78＝10.15，中位数为

（2）由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个，故设恰有2个数据在211以上为

事件A，，故恰有2个数据在211以上的概率为

（3）由题意，比赛成绩y的平均数为

，

故过(2006,210.399)，则即

故当时，，故2028年冠军队的成绩约为204.557.

18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）联结，由题意，，故，即

（2）（在此展示向量处理，几何法可利用平面平行推线面平行）

由题意，过作平面，以为原点，为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，

则，

则，设平面法向量为，

设，则，

则，即，

由不在平面内，故直线平面．

19.已知，．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)由题意,,

故,

设,由与均为增函数,故为增函数,

由得,故解集为

(2)由题意,,

故分类讨论,当时,,

故在(0,1)单调递减,在单调递增,故无极大值不成立;

当时,分类讨论,

当时,恒成立,在单调递增,故无极大

不成立;

当时,或,

在和单调递增,在单调递减,故在处取得极大值;

当时,或,

在(0,1)和单调递增,在单调递减,故在处取得极大值;

综上,

20.已知椭圆，，A是的右顶点．

(1)若的焦点是，求离心率e；

(2)若，且上存在一点P，满足，求m；

(3)若AM中垂线l的斜率为，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】(1)由题意,,故,故；

(2)由题意,不妨设,故,

由得,,即,故,

由在椭圆上,故,解得(负根舍).

(3)由题意,斜率为,故,

不妨设中点为,设

则方程为,

故,

由为钝角,

故,

故,即,

由得,.

21.已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．

(1)若，判断是否是中的元素，并说明理由；

(2)若，，求a的取值范围；

(3)设是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，的解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有个零点．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】(1)由题意,,当时,

,故不属于.

(2)当时,,此时,

故与相切于,令,此时

当时,,当时,,故,

综上,.

(3)由题意,当时,若,则必有,

由为偶函数,故当时,易得,

任取,则必有使,

即满足时,任意的皆满足,

即任意的,

故时,易得;

同理可得当时,,

由为偶函数,易得时,时,,

由仅有的限制,函数值可任取,

故当时,在内可最多取个零点,

故对任意的实数,函数在上至多有9个零点.